世界這麼教｜荷蘭人把數學藏進遊戲角：Freudenthal Institute 的 5 個奇妙活動
Spelhoek 的首頁排著積木、棋盤和工作單。頁面沒有閃亮的動畫，也沒有一按就跳出來招呼你的 AI 助理；白色背景上整整齊齊排著積木、棋盤和工作單，像一間被老師小心保存多年的教材室。若不是頁首寫著 Freudenthal Institute，很容易以為自己誤闖了一座千禧年留下來的教育網站。
然而，真正點進去後，這座「舊房子」比想像中熱鬧。Spelhoek 在荷蘭文裡就是「遊戲角」，其中有的活動要孩子蓋出一座會互相遮擋的高塔城市，有的把九九乘法變成占地戰，還有的只給幾顆棋子和一條規則，就讓人開始估測、排除與爭辯。
荷蘭的數學課，和我們想得不太一樣
這些遊戲與荷蘭重視情境、解題和說理的數學教育有關。下表整理課程安排、學習目標、數位工具與教師進修的背景。
| 一眼看重點 | 荷蘭怎麼做 |
|---|---|
| 每週數學節數 | 無全國統一節數，由各校安排。 |
| 數學國家綱領 | 以國家核心目標（kerndoelen）規範學習方向。 |
| 荷蘭數學特色 | 重視真實情境、建模、解題與說理。 |
| 教育科技運用 | 運用 ICT 與 AI，同時重視隱私、安全與判讀。 |
| 教師進修激勵 | 提供時間、經費及跨校研究合作。 |
不是先給公式，而是先給一個值得解決的問題
現實數學教育（Realistic Mathe matics Education，RME）是理解荷蘭數學教育的一個重要背景。這套理論在 1970、80 年代由 Freudenthal Institute 的前身機構逐步發展，深受數學家 Hans Freudenthal「數學是人類的活動」這個觀點影響。Freudenthal Institute：RME／Hans Freudenthal 與 RME
這句話乍聽有些哲學，搬進教室後卻十分具體。老師不急著把完成品般的公式端上桌，而是先讓孩子遇見一個能想像、也值得處理的問題：怎麼公平分一塊蛋糕？哪一條路比較近？一座高塔從不同方向看，究竟會露出幾層？孩子先畫、先試、先說，再把這些零散的方法整理成表格、算式與符號。抽象數學並沒有消失，只是晚一點出場，而且來得更有理由。
「數學不是先被端上桌的答案，而是孩子在問題裡一步一步做出來的活動。」
Freudenthal Institute 今日仍將 RME 視為其研究工作的歷史基礎與重要靈感之一。新的數位工具、新的研究證據與新的課程需求，都會繼續改變它。這套思想也走出荷蘭，影響了國際間對「數學素養」的想像；在課堂上，老師還需要引導學生說明：自己的操作或解法，如何對應到數學概念。SLO 數學核心目標／SLO：問題解決與推理
沿著運河與腳踏車，走進烏特勒支大學
把地圖拉到荷蘭中部，烏特勒支的運河、舊城與 Dom Tower 擠在並不算遼闊的市區裡。烏特勒支大學（Utrecht University）創立於 1636 年，今日已有超過 38,000 名學生；它的校舍一部分藏在歷史街區，一部分延伸到 Utrecht Science Park。古老石牆、現代研究大樓與成排腳踏車同時出現在畫面裡，彼此竟也不覺得衝突。烏特勒支大學簡介／學生與課程資料
截至 2026 年初，烏特勒支市約有 37.8 萬名居民，市政府稱它是一座擁有許多學生與年輕工作者的「年輕城市」。照片裡的 Academiegebouw 正好把這種新舊交疊拍了下來：它的建築外觀端莊得很有歷史，裡面至今仍舉行畢業典禮、博士答辯與重要學術儀式；門外的城市，則繼續被自行車鈴聲催著往前走。烏特勒支市人口資料／Academiegebouw 歷史
我們此行真正要拜訪的 Freudenthal Institute，就在這所大學裡。研究所關心的不只是數學家研究出了什麼，也追問另一個更貼近教室的問題：數學、物理、化學、資訊與科學，究竟要怎麼教，學習者才不只是記得答案，而是真的理解？
研究所的名字來自數學家與數學教育家 Hans Freudenthal。他反對把數學當成一盒已經包裝完成的知識，再請學生整盒背回家；在他的想法裡，學生應該從情境、問題、模型與討論中，逐步把數學重新「做」出來。比較學生的不同解法，可以幫老師理解他們如何思考。
Freudenthal Collection 便是多年研究與教材開發留下的線上資料庫，從中小學、職業教育到高等教育的教材、工作單、文章與數位遊戲都有。官方也坦白提醒，封存區部分資料年代久遠，可能不再完整。於是它讀起來很像一間教育古董店：有些玩具已經無法插電，有些網頁的年紀可能比新進教師還大，但只要把灰塵拍一拍，裡面的教學問題仍舊鮮活。
當一所老大學遇上 AI，它沒有急著按下「全部同意」
創立將近四百年的大學，面對生成式 AI 會怎麼做？烏特勒支大學沒有把門鎖起來，也沒有把所有新工具一口氣搬進教室。它先畫出一條界線：AI 可以協助教學創新，但必須對學習真正有價值，同時守住透明、安全、隱私、公平與人類最後決定權。這套全校規劃的核心被稱為 Responsible AI；它是大學整體政策，而不是 Freudenthal Institute 單獨制定的規則。
學校把 AI 教育工作拆成願景、使用規範、AI 素養、工具審核、技術架構、組織轉型與教學法等方向。學生會從五級 AI Index 得知一門課或一份作業允許怎麼使用 AI；教師則能取得線上模組、工作坊、教材與同儕案例。這些安排涵蓋工具的使用條件、教學方式與責任分工。烏特勒支大學 AI 政策／教師與教學支援
教室的門，也開向荷蘭以外的地方
若暫時沒有機會騎著腳踏車穿過烏特勒支，仍然可以從家裡進入這所大學的課堂。烏特勒支大學提供對全球開放的 MOOC（大規模開放式線上課程），透過 Coursera 報名，課程免費且不限身分。主題從人權、兒童發展、能源轉型正義，一路延伸到臨床流行病學、食物與永續，並依內容標示初階、中階或專業程度。
一張差點被忽略的舊羊皮紙，把時間拉回一千七百年前
大學裡值得探索的，不只新科技。2026 年，研究者 Mark de Kreij 整理烏特勒支大學圖書館的古代手稿時，注意到一小片不起眼的羊皮紙。它原先被當成七世紀的一般文字，重新辨識後，才確認內容來自西元三至四世紀的《奧德賽》第 12 卷。全世界已知的同類殘片只有約三十件，而它當年所屬的書，大小可能接近今日一台 Kindle，像是古代讀者隨身攜帶的口袋書。
最後，回到那間看似安靜的遊戲角
Spelhoek 的遊戲規則要求玩家估測、排除與解釋。下面五個活動，可以依學生年齡調整成紙筆或實物操作。
以下挑出五個活動。它們不需要昂貴設備，有些甚至只靠紙、骰子與積木，便能讓一堂數學課從「算出答案」走向「解釋自己為什麼這樣做」。
Torenstad（高塔城）的桌面上，玩家用不同高度的塔蓋起一座城市。每一橫列與直行中，同一高度只能出現一次；外圍數字則告訴玩家，從那個方向望過去，應該看見幾座塔。
塔明明一座都沒有消失，卻會被前方更高的建築遮住。孩子必須在實際擺放與腦中想像之間來回切換，像在解一份可以用手搬動的立體數獨。玩家需要用排列、方向、視角與排除法，判斷塔的位置。
不必購買專用積木，不同高度的層層疊、方糖盒或紙杯，就能做出 3×3 入門版。一人擺題、一人破案，比立刻發下工作紙，更容易看出孩子究竟卡在哪一個視角。
「加拿大乘法」聽起來像一套陌生算法，玩起來卻更接近四子連線。玩家透過乘法取得想要的數字，尋找能連成一線的位置，同時盯著對手的棋子，思考下一步究竟應該進攻，還是趕緊堵住缺口。
玩家要用九九乘法判斷能占哪些位置，再決定進攻或阻擋對手。
畫一張乘法答案方格，準備兩種顏色的棋子，並規定玩家落子前必須說出完整算式。熟練計算仍然重要，只是這一次，孩子知道自己為什麼急著算對。
七巧板常被拿來拼兔子、帆船與各種「愈看愈不像」的動物，GramMathematica 卻把注意力拉回拼片本身。孩子比較七巧板與 Hexagram 拼片的形狀、面積、周長與角度，找出小片之間的倍數關係，再用有限材料建構新的圖形。
同樣七塊板子，若問題從「像不像一隻貓」換成「哪幾片能剛好拼成一個大三角形」，玩具便開始長出幾何語言。
拿出現成七巧板，但先把答案卡收起來。請孩子說明圖形如何改變、面積是否改變，以及兩塊小片為何能替代一塊大片。把「照圖拼」改成「說說你發現什麼」，就是活動最關鍵的一步。
Hexerij 要玩家從數字板的一端連到另一端。擲出兩個數後，眼前不是只有一個等待填寫的答案；玩家得判斷哪些格子能讓自己的路線繼續生長，也得留意對手是否即將打通另一條路。
骰子帶來偶然，規則要求選擇。孩子一方面接受自己不能控制的點數，另一方面又得對能控制的策略負責，這正是遊戲比單純練習題多出來的思考空間。
同一張板可以依年級改變占格條件：低年級尋找兩數之間的整數，中年級使用加減結果，高年級改成因數或倍數。棋盤不必換，數學目標卻能一路往上生長。
玩家輪流抽取 1 到 130 的數字卡，把數字填進一排空格，並且必須始終保持由小到大；一旦寫下，就不能擦掉。規則簡單得像在排隊，真正抽到數字時，卻會發現每一格都藏著一個令人猶豫的問題：現在放在這裡，未來會不會後悔？
遇到 42 或 87，玩家都得估計前後還能容納哪些數字。安排位置時，會用到位值、估測與機率直覺。
寫好 1–100 的紙條，或直接使用隨機數，就能開始。遊戲結束後別急著收桌，可以問：「你為什麼把 42 放在中間？」「如果再玩一次，哪一格會多留一些空間？」討論這些選擇，可以了解孩子如何估計數字的位置。
教學工具
這是大衛小學堂做的第一個教學工具：骰子工具。選面數、選顆數，按開始就能擲骰，每一顆的點數都清楚顯示。
如果真要去敲門，別走錯棟
Freudenthal Institute 位在 Utrecht Science Park 的 Buys Ballotgebouw 三樓。前文照片中的 Academiegebouw 是烏特勒支大學的儀式與歷史中心，並不是研究所所在建築；若有一天真的到現場參訪，可別只顧著找最漂亮的那一棟。
研究所官方還特別提醒：附近雖然另有一棟名為「Hans Freudenthal building」的建築，Freudenthal Institute 卻不在那裡。一間研究數學解題的機構，先替訪客準備一道找路題，似乎也十分合理。
查核資料與延伸閱讀
- Freudenthal Institute：Spelhoek
- Freudenthal Collection：About this website
- Freudenthal Institute：Realistic Mathematics Education
- Utrecht University：Freudenthal Institute
- Utrecht University：Freudenthal Institute contact
- Utrecht University：About us
- Utrecht University：About Utrecht University
- Utrecht University：Academiegebouw history
- City of Utrecht：Population figures
- Utrecht University：AI policy
- Utrecht University：AI for teachers and education support
- Utrecht University：Massive Open Online Courses
- Utrecht University：Odyssey fragment discovered in the University Library
- Netherlands Government：Primary education subjects and attainment targets
- Netherlands Government：Primary education minimum teaching hours
- Netherlands Government：Compulsory primary school leavers attainment test
- Netherlands Government：Secondary school leaving examination
- SLO：新版數學核心目標
- SLO：2026 中學數學核心目標
- SLO：數位素養核心目標
- SLO：數學問題解決與推理
- 荷蘭 OCW：基礎教育數位化政策函
- Netherlands Government：2026‑2030 教育與教師專業發展政策
- SLO：Primary School Mathematics in the Netherlands
- Spelhoek：Torenstad
- Spelhoek：Canadees vermenigvuldigen
- Spelhoek：GramMathematica
- Spelhoek：Hexerij
- Spelhoek：Gok een hok
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